Aus: http://www.mathematische-basteleien.de/stern.htm

Pentagramm:

Das Pentagramm ist zweifellos der Star unter den Sternen (Entschuldigung, ein Kalauer).
Er heißt auch Drudenfuß oder Hexenstern.



Er entsteht, wenn man in einem regelmäßigen Fünfeck (rot) alle Diagonalen einzeichnet.
Welche mathematischen Zusammenhänge tauchen auf ?

Im Grunddreieck ABC des regelmäßigen Fünfecks ist der Mittelpunktswinkel gleich 360°/5 = 72°.


Damit sind die beiden Basiswinkel gleich 54°. Der Innenwinkel des Fünfecks ist dann gleich 108°.



Nimmt man an, dass das kleine Fünfeck im Inneren des Pentagramms auch regelmäßig ist, so ist der gekennzeichnete Scheitelwinkel gleich 108°. Der Zacken ist ein gleichschenkliges 72-36-72-Dreieck.

Unten liegt schräg ein zweites kleineres 72-36-72-Dreieck.



Die beiden gelben Dreiecke sind wegen entsprechender, gleicher Winkel einander ähnlich.
So gelangt man im Folgenden zu Formeln.



Wegen der Ähnlichkeit der gelben Dreiecke gilt PQ:QS=QS:QR oder a:x=x

Diese Gleichung kann auf die Strecke PQ und den Teilungspunkt R bezogen werden.
Die ganze Strecke verhält sich zum größeren Abschnitt wie dieser größere Abschnitt
zum kleineren. Man kann auch sagen:
Der größere Abschnitt ist die mittlere Proportionale des ganzen und des kleineren Abschnitts,
in Formeln x=sqrt[a(a-x)].

Man sagt: In einem regelmäßigen Fünfeck schneiden sich die Diagonalen im Goldenen Schnitt.
Das Teilungsverhältnis kann aus der Proportion a:x=xberechnet werden.
Nach der Produktengleichung ist a(a-x)=x². Dann ist x²+ax-a²=0.
Löst man diese quadratische Gleichung auf, so ergibt sich als positive Lösung
x:a =1/2*sqr(5)-1/2. Das ist ungefähr 0,62.
(Referenz für diese Rechnung: Joachim Mohr, URL unten)

Das Pentagramm heißt auch Drudenfuß oder Hexenstern.
Das ist ein Hinweis auf eine bestimmte Thematik, die man im Internet gut erforschen kann.
Ich empfehle das Bilderverzeichnis von google.com mit dem Suchwort "pentagramm" bzw.
"pentagram". Man kommt sich allerdings manchmal so vor, als habe man sich ins Mittelalter verirrt.

Mein Beitrag wäre: Ich habe in den fünfziger Jahren auf einem Bauernhof an der Tür des kombinierten Pferde-/Kuhstalls ein Pentagramm gesehen. Es sollte Krankheiten vom Vieh fernhalten.