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Studie findet überraschende Verbindung zwischen Zahlentheorie und evolutionärer Genetik:


Symbolbild: „Goldene Spiralen“ in der Blattanordnung einer Aloe-Pflanze.
Copyright: J Brew (via WikimediaCommons) / CC BY-SA 2.0

Oxford (Großbritannien) – Ein interdisziplinäres Team von Mathematikern, Ingenieuren, Physikern und Medizinwissenschaftlern hat eine überraschende Verbindung zwischen reiner Mathematik und Genetik aufgedeckt, wie sie wichtige Einblicke in die Struktur neutraler Mutationen und der Evolution von Organismen liefert.
Die Zahlentheorie, also das Studium der Eigenschaften von positiven ganzen Zahlen, stellt für viele Mathematiker „die reinste Form der Mathematik“ dar. Tatsächlich erscheint sie jedoch auf den ersten Blick zu abstrakt, um auf die natürliche und belebte Welt anwendbar zu sein.- Schon der einflussreiche amerikanische Zahlentheoretiker Leonard Dickson schrieb dazu einmal: „Gott sei Dank, dass die Zahlentheorie von jeder Anwendung unberührt bleibt.“ Und dennoch findet die Zahlentheorie immer wieder unerwartete Anwendungen in Wissenschaft und Technik, angefangen von Blattwinkeln, die (fast) universell der Fibonacci-Folge folgen, bis hin zu modernen Verschlüsselungstechniken, die auf der Faktorisierung von Primzahlen basieren. Jetzt haben Forschende der Universitäten Oxford, Harvard, Cambridge, dem GUST, am MIT, dem Imperial College und dem Alan Turing Institute eine unerwartete Verbindung zwischen Zahlentheorie und evolutionärer Genetik nachgewiesen.


Ein Kachelmuster aus Quadraten, deren Kantenlängen der Fibonacci-Folge entsprechen, bildet auch die Grundlage der sog. Goldenene Spirale und die Verhältnisse des Goldnenen Schnitts ab.
Quelle: WikimediaCommons

Die Fibonacci-Folge stellt eine unendliche Reihe natürlicher Zahlen dar, die sich aus Werten ergibt, bei denen jede Zahl die Summe der beiden ihr vorangehenden Zahlen darstellt.

0 1 1 2 3 5 8 13 …
0+1= 1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=…

Obowohl die Folge schon im alten Indien und der Antike bekannt war, wurde die Reihe nach Leonardo Fibonacci benannt, der die Reihe 1202 anhand des Wachstums einer Kaninchenpopulation entdeckte und beschrieb, werden die so enthaltenen Zahlen werden als „Fibonacci-Zahlen“ bezeichnet. Die Fibonacci-Folge findet sich u.a. in zahlreichen Wachstumsvorgängen in der Natur, weshalb sie als Wachstumsmuster gilt. Zudem besteht eine Verwandtschaft zwischen der Fionacci-Reihe und dem Goldenen Schnitt: Je weiter man in der Folge fortschreitet, desto mehr nähert sich der Quotient aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen dem Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes (1,6180…) an. Beispiele hierfür: 13:8 = 1,6250; 21:13 ≈ 1,6154; 34:21 ≈ 1,6190; 55:34 ≈ 1,6176; usw.)

Konkret beschreibt die aktuell im „Journal of The Royal Society Interface“ (DOI: 10.1098/rsif.2023.0169) erschienene Studie eine tiefe Verbindung zwischen der Ziffernsummenfunktion aus der Zahlentheorie und einer Schlüsselgröße in der Genetik: der sog. phänotypischen mutationalen Robustheit. Diese Qualität ist definiert als die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit, dass eine Punktmutation keinen Phänotyp (also eine Eigenschaft eines Organismus) verändert.

Die Entdeckung könnte wichtige Auswirkungen auf as Forschungsfeld der evolutionären Genetik haben, erläutert die Pressemitteilung der Oxford University: “Viele genetische Mutationen sind neutral, das heißt, sie können sich im Laufe der Zeit langsam ansammeln, ohne die Lebensfähigkeit des Phänotyps zu beeinträchtigen. Diese neutralen Mutationen führen dazu, dass sich Genomsequenzen im Laufe der Zeit mit einer konstanten Rate ändern. Da diese Rate bekannt ist, können Wissenschaftler den prozentualen Unterschied in der Sequenz zwischen zwei Organismen vergleichen und ableiten, wann ihr jüngster gemeinsamer Vorfahre gelebt hat.“

Die Existenz dieser neutralen Mutationen stellte allerdings eine wichtige Frage: „Welcher Anteil der Mutationen in einer Sequenz ist neutral?“ Diese Eigenschaft, die als phänotypische mutationale Robustheit bezeichnet wird, definiert die durchschnittliche Anzahl von Mutationen, die in allen Sequenzen auftreten können, ohne den Phänotyp zu beeinflussen.

Der Leiter der Studie, Professor Ard Louis von der Universität Oxford erläutert hierzu: „Wir wissen schon seit einiger Zeit, dass viele biologische Systeme eine bemerkenswert hohe Robustheit des Phänotyps aufweisen, ohne die Evolution nicht möglich wäre. Aber wir wussten nicht, wie hoch die absolute maximale Robustheit sein würde oder ob es überhaupt ein Maximum gibt.“

Genau diese Frage hat das Team mit seiner Studie nun beantwortet: Die Forschenden konnten beweisen, dass die maximale Robustheit proportional zum Logarithmus des Anteils aller möglichen Sequenzen ist, die zu einem Phänotyp abgebildet werden, wobei eine Korrektur gegeben ist, die durch die Ziffernsummenfunktion sk(n) definiert ist. Diese Funktion ist als die Summe der Ziffern einer natürlichen Zahl n zur Basis k definiert.

Zum Beispiel wäre für n = 123 zur Basis 10 die Ziffernsumme s10(123) = 1 + 2 + 3 = 6.

Eine weitere Überraschung war, dass die maximale Robustheit auch mit der berühmten Tagaki-Funktion in Beziehung steht, einer Funktion, die überall stetig ist, aber an keiner Stelle differenzierbar ist. Diese fraktale Funktion wird auch als die Blancmange-Kurve bezeichnet, weil sie wie das französische Dessert aussieht.

Erstautor Dr. Vaibhav Mohanty von Harvard Medical School fügt erläuternd hinzu: „Am meisten überrascht hat uns, dass wir klare Beweise dafür gefunden haben, dass die Natur in einigen Fällen bei der Zuordnung von Sequenzen zu RNA-Sekundärstrukturen die exakte maximale Robustheitsgrenze erreicht. Es ist, als ob die Biologie von der fraktalen Ziffernsummenfunktion weiß.“

„Die Schönheit der Zahlentheorie liegt nicht nur in den abstrakten Beziehungen, die sie zwischen ganzen Zahlen aufdeckt, sondern auch in den tiefen mathematischen Strukturen, die sie in unserer natürlichen Welt erhellt“, so Prof. Louis abschließend. „Wir glauben, dass in der Zukunft viele faszinierende neue Verbindungen zwischen Zahlentheorie und Genetik gefunden werden.“

Recherchequelle: Oxford University
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